내접원 직각삼각형 넓이

[출제 의도] 삼각형과 내접원 관계를 이용한 도형 문제를 해결할 수 있다.

그림에서$\mathrm{\triangle} ABC$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{4} + r , \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{6} + r$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AC}} ^{2}$이므로 $( 4 + r ) ^{2} + ( 6 + r ) ^{2} = 10 ^{2}$ $r ^{2} + 10 r - 24 = 0$, $( r - 2 ) ( r + 12 ) = 0$ 그런데 $r > 0$이므로 $r = 2$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 6 , \overline{BC} = 8$ 따라서 삼각형$\mathrm{ABC}$의 넓이 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \mathrm{\times} \overline{AB} \times \overline{BC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$