내접원 등비급수

합동인 두 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$과 $\mathrm{M} _{1} C _{1} D _{1}$에 내접하는 원의 반지름의 길이를 $r$이라 하자.

삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$에 내접하는 원의 중심에서 모든 변에 이르는 거리는 $r$이므로 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} + \overline{\mathrm{B} _{1} M _{1}} + \overline{\mathrm{M} _{1} A _{1}} \right) r$로 나타낼 수 있다. 그런데 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} M _{1}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} M _{1}}$$\displaystyle = \sqrt{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \sqrt{5}$이고 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{1}{2} ( 2 + 1 + \sqrt{5} ) r = 1$에서 $\displaystyle r = \frac{2}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$이다. ∴ $\displaystyle S _{1} = 2 \times \pi \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \left( 7 - 3 \sqrt{5} \right) \pi$ $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} M _{2}}$$= a$라 하면 삼각형 $\mathrm{M} _{1} A _{2} M _{2}$와 삼각형 $\mathrm{B} _{1} M _{1} A _{1}$은 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{M} _{1} M _{2}} = 2 a$이다.

따라서 $2 a + 2 a = 2$에서 $\displaystyle a = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $S _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \left( 7 - 3 \sqrt{5} \right) \pi$이고 공비가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이다. ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( 7 - 3 \sqrt{5} \right) \pi \times \left( \frac{1}{4} \right) ^{n-1}$ $\displaystyle = \frac{\left( 7 - 3 \sqrt{5} \right) \pi}{1 - \frac{1}{4}}$ $\displaystyle = \frac{4 ( 7 - 3 \sqrt{5} )}{3} \pi$