미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

내접원 반지름곱 극한

문제

AB‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 8, AC‾=BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = {\overline{BC}}, ∠ABC=θ\mathrm{\angle} ABC = \theta인 이등변삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 그림과 같이 선분 BC\mathrm{BC}의 연장선 위에 AC‾=AD‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = {\overline{AD}}인 점 D\mathrm{D}를 잡는다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 삼각형 ACD\mathrm{ACD}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r2r _{2}라 할 때, lim⁡θ→+0r1r2θ2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{r _{1} r _{2}}{\theta ^{2}}}의 값은? [4점]

①66②77③88④99⑤1010

단답형
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③

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해설

[출제의도] 도형과 함수의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 삼각형 ACD\mathrm{ACD}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r2r _{2}라 하자. 삼각형 BO1M\mathrm{BO} _{1} M에서 r1=4tan⁡θ2\displaystyle r _{1} = 4 \tan \frac{\theta}{2} 삼각형 BCM\mathrm{BCM}에서 BC‾=4cos⁡θ=AC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \frac{4}{\cos \theta} = \mathrm{\overline{AC}} 삼각형 ACN\mathrm{ACN}에서 CN‾=4cos⁡θ×cos⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{CN}} = \frac{4}{\cos \theta} \times \cos 2 \theta 삼각형 CNO2\mathrm{CNO} _{2}에서 r2=CN‾tan⁡θ=4tan⁡θcos⁡2θcos⁡θ\displaystyle r _{2} = {\overline{\mathrm{CN}}} \tan \theta \mathrm{=} \frac{4 \tan \theta \cos 2 \theta}{\cos \theta} 따라서lim⁡θ→+0r1r2θ2=lim⁡θ→+016tan⁡θ2tan⁡θcos⁡2θθ2cos⁡θ=8\displaystyle \begin{aligned} & \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{r _{1} r _{2}}{\theta ^{2}}} = & \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{16 \tan \frac{\theta}{2} \tan \theta \cos 2 \theta}{\theta ^{2} \cos \theta}} = 8 \end{aligned}

태그

#삼각함수의 극한#내접원

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