내접원 반지름 미분

[출제의도] 몫의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다.

삼각형 $\mathrm{ABC}$에 내접하는 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고, 점 $\mathrm{O}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{O}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 $\displaystyle \mathrm{\angle} OBH = \frac{\pi}{6}$, $\mathrm{\angle} OCH = \theta$ $\displaystyle \frac{\mathrm{\mathrm{\overline{OH}}}}{{\overline{BH}}} = \tan \frac{\pi}{6}$에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\mathit{r} \left( \theta \right)}}{{\overline{BH}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \sqrt{3} \mathit{r} ( \theta )$ $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{OH}}}{\mathrm{\overline{CH}}} = \tan \theta$에서 $\displaystyle \frac{\mathrm{\mathit{r} \left( \theta \right)}}{{\overline{CH}}} = \tan \theta$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} H}} = \frac{\mathrm{\mathit{r} \left( \theta \right)}}{\tan \theta}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} + \overline{HC} = \mathrm{\overline{BC}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{3} \mathit{r} ( \theta ) + \frac{\mathrm{\mathit{r} \left( \theta \right)}}{\tan \theta} = 1$, $\displaystyle r \left( \theta \right) = \frac{\tan \theta}{1 + \sqrt{3} \tan \theta}$ $\displaystyle h ( \theta ) = \frac{r ( \theta )}{\tan \theta}$이므로 $\displaystyle h \left( \theta \right) = \frac{1}{1 + \sqrt{3} \tan \theta}$ $h ( \theta )$를 $\theta$에 대하여 미분하면 $h' \left( \theta \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{3} \mathrm{\sec} ^{2} \theta}{\left( 1 + \sqrt{3} \mathrm{\tan} \theta \right) ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle h' \left( \frac{\pi}{6} \right) = \mathit{-} \frac{\sqrt{3} \times \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{2}}{\left( 1 + \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{\sqrt{3}}{3}$