미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접원 반지름 급수

문제

그림과 같이 세 점 O(0,0),A1(0,4),A2(2,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 ) , A _{1} ( 0 , 4 ) , A _{2} ( 2 , 0 )으로 이루어진 △OA1A2\triangle \mathrm{OA} _{1} A _{2}에 내접하는 원을 O1\mathrm{O} _{1}이라 하자. yy축 위의 점 A3\mathrm{A} _{3}이 선분 A1A2\mathrm{A} _{1} A _{2}의 기울기와 선분 A2A3\mathrm{A} _{2} A _{3}의 기울기의 곱이 11이 되도록 하는 점일 때, △OA2A3\triangle \mathrm{OA} _{2} A _{3}에 내접하는 원을 O2\mathrm{O} _{2}라 하자. xx축 위의 점 A4\mathrm{A} _{4}가 선분 A2A3\mathrm{A} _{2} A _{3}의 기울기와 선분 A3A4\mathrm{A} _{3} A _{4}의 기울기의 곱이 11이 되도록 하는 점일 때, △OA3A4\triangle \mathrm{OA} _{3} A _{4}에 내접하는 원을 O3\mathrm{O} _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 생기는 △OAnAn+1\triangle \mathrm{OA} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1}에 내접하는 원을 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}이라 하고, On\mathrm{O} _{\mathit{n}}의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 할 때, ∑n=1∞rn=a−2b\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} r _{n} = a - 2 \sqrt{b} (a,ba , b는 자연수)이다. a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 이용한 수학내적 문제해결하기 △OA1A2\triangle \mathrm{OA} _{1} A _{2}=△OO1A1+△OO1A2+△O1A1A2\triangle \mathrm{OO} _{1} A _{1} + \triangle OO _{1} A _{2} + \triangle O _{1} A _{1} A _{2} 12×2×4=12×r1×(6+25)\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = \frac{1}{2} \times r _{1} \times ( 6 + 2 \sqrt{5} ) ∴r1=3−5\displaystyle r _{1} = 3 - \sqrt{5} △OA2A3\triangle \mathrm{OA} _{2} A _{3}=△OO2A2+△OO2A3+△O2A2A3\triangle \mathrm{OO} _{2} A _{2} + \triangle OO _{2} A _{3} + \triangle O _{2} A _{2} A _{3} 12×2×1=12×r2×(3+5)\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{1}{2} \times r _{2} \times ( 3 + \sqrt{5} ) ∴ r2=12(3−5)\displaystyle r _{2} = \frac{1}{2} ( 3 - \sqrt{5} ) 따라서 rn=(3−5)(12)n−1\displaystyle r _{n} = ( 3 - \sqrt{5} ) \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}이다. ∑n=1∞rn=6−25\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} r _{n} = 6 - 2 \sqrt{5}이므로 a+b=11a + b = 11

태그

#무한등비급수#내접원

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