미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내접원 반지름 극한

문제

그림과 같이 AB‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1, BC‾=n\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{n}, ∠ABC=90∘\mathrm{\angle} ABC = 90 ^\circ인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞rn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {r _{n}}의 값은? (단, nn은 자연수이다.) [3점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②13\displaystyle \frac{1}{3}③14\displaystyle \frac{1}{4}④15\displaystyle \frac{1}{5}⑤16\displaystyle \frac{1}{6}

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①

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해설

[출제의도] 도형에 관련된 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 피타고라스 정리에 의해 AC‾=1+n2\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{\sqrt{1 + n ^{2}}} 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이를 SnS _{n}이라 하면 Sn=12⋅1⋅n\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot n=12n\displaystyle = \frac{1}{2} n Sn=12⋅1⋅rn+12⋅n⋅rn+12⋅1+n2⋅rn\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot r _{n} + \frac{1}{2} \cdot n \cdot r _{n} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 + n ^{2}} \cdot r _{n} 12rn(1+n+1+n2)\displaystyle \frac{1}{2} r _{n} ( 1 + n + \sqrt{1 + n ^{2}} )=12n\displaystyle = \frac{1}{2} n ∴ rn=n1+n+1+n2\displaystyle r _{n} = \frac{n}{1 + n + \sqrt{1 + n ^{2}}} ∴ lim⁡n→∞rn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {r _{n}}=lim⁡n→∞n1+n+1+n2\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{n}{1 + n + \sqrt{1 + n ^{2}}} =lim⁡n→∞11n+1+1n2+1\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{1}{n} + 1 + \sqrt{\frac{1}{n ^{2}} + 1}}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#수열의 극한#도형

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