미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 반지름 극한

문제

그림과 같이 두 점 A(a,0)\mathrm{A} \mathit{(} a , 0 ), B(0,3)\mathrm{B} \mathit{(} 0 , 3 )에 대하여 삼각형 OAB\mathrm{OAB}에 내접하는 원 CC가 있다. 원 CC의 반지름의 길이를 rr라 할 때, lim⁡a→+0ra\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow + 0} {\frac{r}{a}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①16\displaystyle \frac{1}{6}②15\displaystyle \frac{1}{5}③14\displaystyle \frac{1}{4}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 주어진 도형을 통해 함수의 극한값을 구한다. 삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 SS, 원의 중심을 C\mathrm{C}라 하면 AB‾=a2+9\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{a ^{2} + 9}, S=△COA+△CBO+△CABS = \mathrm{\triangle} COA + \triangle CBO + \triangle CAB이므로 S=32a\displaystyle S = \frac{3}{2} a=r×a+3+a2+92\displaystyle = r \times \frac{a + 3 + \sqrt{a ^{2} + 9}}{2} 위의 식을 정리하면 ra=3a+3+a2+9\displaystyle \frac{r}{a} = \frac{3}{a + 3 + \sqrt{a ^{2} + 9}} ∴ lim⁡a→+0ra=lim⁡a→+03a+3+a2+9\displaystyle \lim\limits _{a \rightarrow + 0} {\frac{r}{a}} = \lim\limits _{a \rightarrow + 0} {} \frac{3}{a + 3 + \sqrt{a ^{2} + 9}}=33+9=12\displaystyle = \frac{3}{3 + \sqrt{9}} = \frac{1}{2}

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#내접원#극한

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