미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내접원 반지름 극한

문제

그림과 같이 좌표평면에서 점 P\mathrm{P}가 원점 O\mathrm{O}를 출발하여 xx축을 따라 양의 방향으로 이동할 때, 점 Q\mathrm{Q}는 점 (0,30)( 0 , 30 )을 출발하여 PQ‾=30\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 30을 만족시키며 yy축을 따라 음의 방향으로 이동한다. ∠OPQ=θ\angle \mathrm{OPQ} = \theta (0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2})일 때, 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 내접원의 반지름의 길이를 r(θ)r ( \theta )라 하자. 이때, lim⁡θ→+0r(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{r \left( \theta \right)}{\theta}}의 값을 구하시오.[3점]

θ\theta

r(θ)r \left( \theta \right)

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15

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 12×30sin⁡θ×30cos⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times 30 \sin \theta \times 30 \cos \theta =12×(30+30sin⁡θ+30cos⁡θ)×r(θ)\displaystyle = \frac{1}{2} \times ( 30 + 30 \sin \theta + 30 \cos \theta ) \times r \left( \theta \right) r(θ)=30sin⁡θcos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1\displaystyle r ( \theta ) = \frac{30 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta + 1} ∴\therefore lim⁡θ→+0r(θ)θ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{r ( \theta )}{\theta}} =lim⁡θ→+0(30cos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1×sin⁡θθ)=15\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left( \frac{30 \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta + 1} \times \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = 15}

태그

#삼각함수의 극한#내접원

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