미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

내접원 반지름 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 ABAB를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 PP, QQ를 ∠ABP=∠BAQ=θ(0<θ<π4)\displaystyle \angle ABP = \angle BAQ = \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right)가 되도록 잡는다. 두 선분 AQAQ, BPBP와 호 PQPQ에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r(θ)r ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→π4−0r(θ)π4−θ=p2+q\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow {\frac{\pi}{4} - 0}} \frac{r ( \theta )}{\frac{\pi}{4} - \theta} = p \sqrt{2} + q이다. p2+q2p ^{2} + q ^{2}의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 유리수이다.) [4점]

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해설

위의 그림에서 ∠HOR=θ\angle HOR = \theta이고, OR‾=r(θ)sec⁡θ\displaystyle \overline{OR} = r ( \theta ) \sec \theta RM‾=tan⁡θ\displaystyle \overline{R M} = \tan \theta, OC‾=r(θ)\displaystyle \overline{OC} = r ( \theta )이므로 CM‾=r(θ)+r(θ)sec⁡θ+tan⁡θ=1\displaystyle \overline{CM} = r ( \theta ) + r ( \theta ) \sec \theta + \tan \theta = 1 ∴\thereforer(θ)=1−tan⁡θ1+sec⁡θ\displaystyle r ( \theta ) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \sec \theta} π4−θ=t\displaystyle \frac{\pi}{4} - \theta = t라 하면 lim⁡θ→π4−0r(θ)π4−θ=lim⁡t→+0r(π4−t)t\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow {\frac{\pi}{4} - 0}} \frac{r ( \theta )}{\frac{\pi}{4} - \theta} = \lim\limits _{t\rightarrow +0} \frac{r \left( \frac{\pi}{4} - t \right)}{t}=lim⁡t→+01−tan⁡(π4−t)1+sec⁡(π4−t)t\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow +0} \frac{\frac{1 - \tan \left( \frac{\pi}{4} - t \right)}{1 + \sec \left( \frac{\pi}{4} - t \right)}}{t} =12+1lim⁡t→+02tan⁡t1+tan⁡tt=12+1×2=22−2\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \lim\limits _{t\rightarrow +0} \frac{\frac{2 \tan t}{1 + \tan t}}{t} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \times 2 = 2 \sqrt{2} - 2 ∴p2+q2=22+(−2)2=8\therefore p ^{2} + q ^{2} = 2 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} = 8

태그

#삼각함수의 극한#내접원

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