내접사각형 선분 길이

[출제의도] 원의 성질을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

$\mathrm{\angle} CBD$와 $\mathrm{\angle} CAD$는 호 $\mathrm{CD}$의 원주각이므로 원주각의 성질에 의하여 $\mathrm{\angle} CAD = 60 ^\circ$ 이다. 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 원에 내접하므로 $\mathrm{\angle} C = 90 ^\circ$, $\mathrm{\angle} BDC = 30 ^\circ$ 이다. 한편 $\mathrm{\angle} CPD = \angle CQD = 90 ^\circ$ 이므로 지름의 원주각의 성질에 의하여 사각형 $\mathrm{PCDQ}$는 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 원에 내접하는 사각형이다. 이때 $\mathrm{\angle} PDC$와 $\mathrm{\angle} PQC$는 이 원에서 호 $\mathrm{PC}$의 원주각이므로 $\mathrm{\angle} PDC = \angle PQC = 30 ^\circ$, $\mathrm{\angle} AQR = 60 ^\circ$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{ARQ}$는 정삼각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = {\overline{QR}}$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$는 직각이등변삼각형이고 변 $\mathrm{BD}$의 길이는 $8$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4 \sqrt{2}$ 따라서 선분 $\mathrm{QD}$의 길이를 구하면 선분 $\mathrm{QR}$의 길이를 구할 수 있다. 선분 $\mathrm{CD}$를 지름으로 하는 원에서 원주각의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{PCQ} \mathit{=} \angle \mathrm{PDQ} \mathit{=} 45 ^\circ$ 두 삼각형 $\mathrm{PCS}$와 $\mathrm{SDQ}$는 직각이등변삼각형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PC}} = \overline{PS} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{SD}} = 8 - ( 2 + 2 \sqrt{3} ) = 6 - 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QD}} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( 6 - 2 \sqrt{3} ) = 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = {\overline{AQ}} = 4 \sqrt{2} - ( 3 \sqrt{2} - \sqrt{6} )$$\displaystyle = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ [다른 풀이]

원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. $\angle \mathrm{A} = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}}$는 원의 지름이고 $\angle \mathrm{C} = 90 ^\circ$이다. 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{BD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{BD}$, $\mathrm{CQ}$가 만나는 점을 $\mathrm{S}$라 하고 두 선분 $\mathrm{PQ}$, $\mathrm{AO}$가 만나는 점을 $\mathrm{T}$라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = 8$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 4$ 직각삼각형 $\mathrm{BCP}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PO}}} = 2$이고, 삼각형 $\mathrm{PCS}$는 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PS}} = {\overline{PC}} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = \frac{1}{2} {\overline{SD}}$$\displaystyle = 3 - \sqrt{3}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 2 \sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ 직각삼각형 $\mathrm{PHQ}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{PH}} ^{2} + {\overline{QH}} ^{2}$$\displaystyle = ( 3 + \sqrt{3} ) ^{2} + ( 3 - \sqrt{3} ) ^{2}$$= 24$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 2 \sqrt{6}$ 삼각형 $\mathrm{POT}$와 삼각형 $\mathrm{PHQ}$가 서로 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PO}} : {\overline{PH}} = {\overline{PT}} : {\overline{PQ}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PT}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\overline{PO}} \times {\overline{PQ}}}{{\overline{PH}}}$$\displaystyle = \frac{2 \times 2 \sqrt{6}}{3 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = 2 \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PO}} : {\overline{PH}} = {\overline{OT}} : {\overline{QH}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OT}} = \frac{{\overline{PO}} \times {\overline{QH}}}{{\overline{PH}}}$$\displaystyle = \frac{2 \times \left( 3 - \sqrt{3} \right)}{3 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = 4 - 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AT}} = {\overline{AO}} - {\overline{OT}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AT}} = {\overline{CP}}$이므로 $\mathrm{\triangle} CRP \equiv \triangle ART$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \mathrm{\overline{TR}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{PT}}}$$\displaystyle = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR \mathit{}}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{PQ}} - {\overline{PR}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{6} - \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right)$$\displaystyle = \sqrt{6} + \sqrt{2}$