대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접하는 원 그리기

문제

주어진 원 C\mathrm{C}에 다음과 같은 방법으로 도형을 그린다.

원 C\mathrm{C}
〔11단계〕 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 원 33개를 각각 서로 외접하면서 원 C\mathrm{C}에 각각 내접하게 그린다.
〔22단계〕 오른쪽 그림과 같이 11단계의 그림에서 원 C\mathrm{C}에 내접한 원 중 22개와 원 C\mathrm{C}에 동시에 접하는 원을 추가하여 그린다.
〔33단계〕 오른쪽 그림과 같이 22단계의 그림에서 원 C\mathrm{C}에 내접한 원 중 22개와 원 C\mathrm{C}에 동시에 접하는 원을 추가하여 그린다.
⋮\vdots⋮\vdots

이와 같은 방법으로 계속하여 그릴 때, nn단계의 그림에서 원의 최대 개수를 ana _{n}이라 하고, 그때의 접점의 개수를 bnb _{n}이라 하자. 예를 들면 a1=4a _{1} = 4, a2=7a _{2} = 7, b1=6b _{1} = 6, b2=15b _{2} = 15이다. 이때, b8−a8b _{8} - a _{8}의 값은? (단, 원 사이의 교점은 접점만 존재한다.) [4점] ①754754②764764③774774④784784⑤794794

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②

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해설

[출제의도] 계차수열의 성질 이해하기 a1=4a _{1} = 4, a2=7a _{2} = 7, a3=13a _{3} = 13, ⋯\cdots 이므로 an=4+∑k=1n−13⋅2k−1=3⋅2n−1+1\displaystyle a _{n} = 4 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 3 \cdot 2 ^{k - 1} = 3 \cdot 2 ^{n - 1} + 1 b1=6b _{1} = 6, b2=15b _{2} = 15, b3=33b _{3} = 33, ⋯\cdots 이므로 bn=6+∑k=1n−19⋅2k−1=9⋅2n−1−3\displaystyle b _{n} = 6 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 9 \cdot 2 ^{k - 1} = 9 \cdot 2 ^{n - 1} - 3이다. 따라서 b8−a8=(9⋅27−3)−(3⋅27+1)b _{8} - a _{8} = \left( 9 \cdot 2 ^{7} - 3 \right) - \left( 3 \cdot 2 ^{7} + 1 \right)=6⋅27−4=764= 6 \cdot 2 ^{7} - 4 = 764

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