미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

내접하는 원 극한

문제

평면 위에 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 33인 원 C1\mathrm{C} _{1}과 중심이 A\mathrm{A}이고 반지름의 길이가 11인 원 C2\mathrm{C} _{2}가 점 B\mathrm{B}에서 서로 내접하고 있다. 선분 AB\mathrm{AB} 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여, 점 P\mathrm{P}에서 선분 AB\mathrm{AB}에 수직인 직선을 그어 두 원 C1,C2\mathrm{C} _{1} , C _{2}와 만나는 점을 Q,R\mathrm{Q} , R이라 하자. 점 P\mathrm{P}가 점 B\mathrm{B}에 한없이 가까워질 때, PQ‾PR‾\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\overline{PR}}의 극한값 mm에 대하여 100m2100 m ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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300300

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해설

[출제의도] 내접원의 성질을 활용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원점을 O\mathrm{O}, 두 점 A,B\mathrm{A} , B를 xx축 위에 오도록 좌표축을 설정하고, 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (x,0)( x , 0 )이라 하면, 구하고자 하는 극한값 mm은 m=lim⁡x→3−0PQ‾PR‾=lim⁡x→3−09−x21−(x−2)2\displaystyle m = \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} \frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{\overline{\mathrm{PR}}} = \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} \frac{\sqrt{9 - x ^{2}}}{\sqrt{1 - ( x - 2 ) ^{2}}} =lim⁡x→3−0(3+x)(3−x)(x−1)(3−x)=lim⁡x→3−0(3+x)(x−1)=3\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} \sqrt{\frac{( 3 + x ) ( 3 - x )}{( x - 1 ) ( 3 - x )}} = \lim\limits _{x \rightarrow 3 - 0} \sqrt{\frac{( 3 + x )}{( x - 1 )}} = \sqrt{3}

태그

#함수의 극한#원

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