내접 삼각형 둘레 최소

[출제의도] 두 점 사이의 거리의 최솟값을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

$\mathrm{B} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{C} ( 4 , 0 )$이 되도록 좌표평면 위에 삼각형 $\mathrm{ABC}$를 나타내고 제1사분면 위의 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( \alpha , \beta \right)$라 할 때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB} \mathit{}}} ^{2} = \alpha ^{2} + \beta ^{2} = 18$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC} \mathit{}}} ^{2} = ( \alpha - 4 ) ^{2} + \beta ^{2} = 10$ 이므로 $\mathrm{A} ( 3 , 3 )$ 직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $y = - 3 x + 12$ 점 $\mathrm{F}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 할 때 $b = - 3 a + 12$ 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $y = x$이므로 점 $\mathrm{F}$를 직선 $\mathrm{AB}$와 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 $\mathrm{F} _{1}$, $\mathrm{F} _{2}$라 하면 $\mathrm{F} _{1}$$( b , a )$, $\mathrm{F} _{2}$$( a , - b )$이다. 이때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF}}} = {\overline{\mathrm{DF} _{1}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{EF}}} = {\overline{\mathrm{EF} _{2}}}$이므로 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 둘레의 길이는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF} _{1}}} + {\overline{\mathrm{DE}}} + {\overline{\mathrm{EF} _{2}}}$의 값과 같다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{DF} _{1}}} + {\overline{\mathrm{DE}}} + {\overline{\mathrm{EF} _{2}}} \geq \overline{\mathrm{F} _{1} F _{2}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} _{1} F _{2}}} = \sqrt{( a - b ) ^{2} + ( - b - a ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 a ^{2} + 2 b ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{2 a ^{2} + 2 ( - 3 a + 12 ) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left. 20 \left( a - \frac{18}{5} \right) ^{2} + \right. \frac{144}{5}}$ ($3 < a < 4$) 삼각형 $\mathrm{DEF}$의 둘레의 길이의 최솟값은 $\displaystyle \frac{12}{5} \sqrt{5}$ 따라서 $p + q = 17$