공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

내접·외접할 때의 상수의 합

문제

두 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1, (x−3a)2+(y−4a)2=36( x - 3 a ) ^{2} + ( y - 4 a ) ^{2} = 36 이 서로 내접할 때의 양수 aa의 값을 pp, 서로 외접할 때의 양수 aa의 값을 qq라 하자. p+qp + q의 값은? [3점] ①22②115\displaystyle \frac{11}{5}③125\displaystyle \frac{12}{5}④135\displaystyle \frac{13}{5}⑤145\displaystyle \frac{14}{5}

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③

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해설

두 원의 중심은 각각 (0,0)( 0 , 0 ), (3a,4a)( 3 a , 4 a )이고 반지름의 길이는 각각 11, 66이다. a>0a > 0이므로 중심 사이의 거리는 (3a)2+(4a)2=5a\displaystyle \sqrt{( 3 a ) ^{2} + ( 4 a ) ^{2}} = 5 a 두 원이 내접하면 중심 사이의 거리가 반지름의 길이의 차와 같으므로 5a=6−1=55 a = 6 - 1 = 5에서 a=1a = 1, 곧 p=1p = 1 두 원이 외접하면 중심 사이의 거리가 반지름의 길이의 합과 같으므로 5a=6+1=75 a = 6 + 1 = 7에서 a=75\displaystyle a = \frac{7}{5}, 곧 q=75\displaystyle q = \frac{7}{5} 따라서 p+q=1+75=125\displaystyle p + q = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5} 이므로 답은 ③이다.

태그

#두 원의 위치 관계#내접#외접

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