내적 조건과 영역 분리

평면 $z = 1$위의 세 점 $\mathrm{P} _{1} , P _{2} , P _{3}$의 좌표를 각각 $( a _{1} , b _{1} , 1 ) , ( a _{2} , b _{2} , 1 ) , ( a _{3} , b _{3} , 1 )$이라 하자. 1) $\displaystyle \mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OP} _{1} = \frac{11}{3}$에서 $\displaystyle 3 a _{1} + \frac{1}{2} b _{1} + 2 = \frac{11}{3}$이고 정리하면 $\displaystyle 6 a _{1} + b _{1} = \frac{10}{3}$ $\cdots \text{㉠}$ 2) $\mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OP} _{2} = 1$에서 $\displaystyle 3 a _{2} + \frac{1}{2} b _{2} + 2 = 1$이고 정리하면 $6 a _{2} + b _{2} = - 2$ $\cdots \text{㉡}$ 3) $\displaystyle \mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OP} _{3} = - \frac{7}{4}$에서 $\displaystyle 3 a _{3} + \frac{1}{2} b _{3} + 2 = - \frac{7}{4}$이고 정리하면 $\displaystyle 6 a _{3} + b _{3} = - \frac{15}{2}$ $\cdots \text{㉢}$ 따라서 점 $\mathrm{P} _{1} , P _{2} , P _{3}$에서 $xy$평면에 내신 수선의 발의 자취는 다음과 같다. $\mathrm{P} _{1}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발의 자취 : $\displaystyle l _{1} : 6 x + y = \frac{10}{3} , z = 0$ $\mathrm{P} _{2}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발의 자취 : $l _{2} : 6 x + y = - 2 , z = 0$ $\mathrm{P} _{1}$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발의 자취 : $\displaystyle l _{3} : 6 x + y = \frac{15}{2} , z = 0$ 이를 $xy$평면에 나타내면 다음과 같다.

한편, 점 $( 0 , k , 0 )$을 지나고 방향벡터가 $( 1 , - 6 , 0 )$인 직선의 방정식을 구하면 $l :$$\displaystyle \frac{x}{1} = \frac{y - k}{- 6} , z = 0$이고 정리하면 $6 x + y = k , z = 0$이다. 직선 $l$에 의해 나누어지는 $xy$평면의 두 영역 $\alpha , \beta$에서 $l$의 아랫부분에 있는 영역을 $\alpha$, $l$의 윗부분에 있는 영역을 $\beta$라고 하자.

따라서 $l _{1} , l _{2} , l _{3}$가 모두 $\alpha$에만 포함되거나 모두 $\beta$에만 포함되도록 하는 $k$의 범위는 $\displaystyle k < - \frac{15}{2}$또는 $\displaystyle k > \frac{10}{3}$이다. 한편, 조건을 만족시키는 양의 정수 $k$의 최솟값은 $m = 4$이고, 양의 정수 $k$의 최댓값은 $M = - 8$이다 $\therefore$$m - M = 4 - ( - 8 ) = 12$이다.