내적 기댓값

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 확률변수의 평균 구하는 문제를 해결한다. $7$개의 점 중 서로 다른 $2$개의 점을 선택하는 경우의 수는 ${}_{7{\mathrm{C}}_{2}} = 21$이다. 서로 다른 두 벡터 $\mathrm{\vec{OP}} _{\mathit{i}}$, $\mathrm{\vec{OP}} _{\mathit{j}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{k}$라 하면 $\displaystyle \theta _{k} = \frac{k}{6} \pi$ ($k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$)이다. $\mathrm{|} {\vec{OP _{\mathit{i}}}} | = | \mathrm{\vec{OP _{\mathit{j}}}} | = 1$이므로 $X =$$\mathrm{\vec{OP _{\mathit{i}}}} \cdot {\vec{OP _{\mathit{j}}}} = | \mathrm{\vec{OP _{\mathit{i}}}} | | \mathrm{\vec{OP _{\mathit{j}}}} | \cos \theta _{k} = \cos \theta _{k}$ 가 되는 두 점의 순서쌍은 $( \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{0}}} , \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{k}}} )$, $( \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{1}}} , \mathrm{P} \mathit{\mathrm{_{k + 1}}} )$, …, $( {\mathrm{P}} _{6 - k} , {\mathrm{P}} _{6} )$ 으로 $7 - k$가지이고, $\cos \theta _{k}$의 값은 차례로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \frac{1}{2}$, $0$, $\displaystyle - \frac{1}{2}$, $\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}$, $- 1$ 이다. 따라서 확률변수 $X$의 확률분포를 나타내는 표는 다음과 같다.

${\mathrm{E}} ( X ) =$$\displaystyle ( - 1 ) \times \frac{1}{21} + \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \frac{2}{21} + \left( - \frac{1}{2} \right) \times \frac{3}{21} + 0 \times \frac{4}{21}$ $\displaystyle + \frac{1}{2} \times \frac{5}{21} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{6}{21}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{21}$ 따라서 $p + q = 21 + 2 =$$23$