공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내각이등분선과 행렬

문제

그림과 같이 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 내접원의 중심 I\mathrm{I}와 꼭짓점 A\mathrm{A}를 지나는 직선이 변 BC\mathrm{BC}와 만나는 점을 D\mathrm{D}라 하자. AB‾=a,AC‾=b,\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{a} , \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{b} ,BD‾=c,CD‾=d\displaystyle {\mathrm{\overline{BD}}} = c , {\mathrm{\overline{CD}}} = d라 할 때, 연립방정식 (1bc−91ad)(xy)=(adbc+9)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & bc - 9 \\ 1 & ad \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ad \\ bc + 9 \end{pmatrix}의 해 x=α,y=βx = \alpha , y = \beta에 대하여 α+β\alpha + \beta의 값을 구하시오. [4점]

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10

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해설

[출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 직선 AD\mathrm{AD}는 ∠BAC\mathrm{\angle} BAC의 이등분선이므로 a:b=c:da : b = c : d ∴ ad−bc=0ad - bc = 0 (1bc−91ad)−1=19(ad−bc+9−11)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & bc - 9 \\ 1 & ad \end{pmatrix}} ^{- 1} = \frac{1}{9} {\begin{pmatrix} ad & - bc + 9 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}} (xy)=19(ad−bc+9−11)(adbc+9)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = \frac{1}{9} {\begin{pmatrix} ad & - bc + 9 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} ad \\ bc + 9 \end{pmatrix}} =19((ad)2−(bc)2+81−ad+bc+9)=(91)\displaystyle = \frac{1}{9} {\begin{pmatrix} ( ad ) ^{2} - ( bc ) ^{2} + 81 \\ - ad + bc + 9 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}} ∴ α=9,β=1\alpha = 9 , \beta = 1 ∴ α+β=10\alpha + \beta = 10

태그

#역행렬#각의 이등분선

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