공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점과 외분점의 좌표

문제

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A} \mathit{(} x _{1} , y _{1} ) , \mathrm{B} \mathit{(} x _{2} , y _{2} )$ 를 이은 선분 $\mathrm{AB}$ 를 $4 : 3$ 으로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 각각 $\mathrm{C} \mathit{(} x _{3} , y _{3} )$ 과 $\mathrm{D} \mathit{(} x _{4} , y _{4} )$ 라 하자. 이 때, $\displaystyle X {\begin{pmatrix} x _{1} & & y _{1} \\ x _{2} & & y _{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} x _{3} & & y _{3} \\ x _{4} & & y _{4} \end{pmatrix}}$ 를 항상 만족시키는 $2$ 차의 정사각행렬 $X$ 를 구하면? ① $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{4}{7} & & \frac{3}{7} \\ - 3 & & 4 \end{pmatrix}}$ ② $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{4}{7} & & \frac{3}{7} \\ 4 & & - 3 \end{pmatrix}}$ ③ $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & & - 3 \\ \frac{4}{7} & & 4 \end{pmatrix}}$ ④ $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & & \frac{4}{7} \\ 3 & & - 4 \end{pmatrix}}$ ⑤ $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & & \frac{4}{7} \\ - 3 & & 4 \end{pmatrix}}$

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⑤

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해설

$\displaystyle C \left( \frac{3 x _{1} + 4 x _{2}}{4 + 3} , \frac{3 y _{1} + 4 y _{2}}{4 + 3} \right) = ( x _{3} , y _{3} )$ $\displaystyle D \left( \frac{- 3 x _{1} + 4 x _{2}}{4 - 3} , \frac{- 3 y _{1} + 4 y _{2}}{4 - 3} \right) = ( x _{4} , y _{4} )$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} x _{1} + \frac{4}{7} x _{2} & & \frac{3}{7} y _{1} + \frac{4}{7} y _{2} \\ - 3 x _{1} + 4 x _{2} & & - 3 y _{1} + 4 y _{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} x _{3} & & y _{3} \\ x _{4} & & y _{4} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & & \frac{4}{7} \\ - 3 & & 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x _{1} & & y _{1} \\ x _{2} & & y _{2} \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} x _{3} & & y _{3} \\ x _{4} & & y _{4} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore X = {\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & & \frac{4}{7} \\ - 3 & & 4 \end{pmatrix}}$

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