공통수학2평면좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

내분점과 외분점 거리

문제

좌표평면 위의 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}, E\mathrm{E}가 한 직선 위에 있고, 다음 조건을 만족한다.

◦B\mathrm{B}의 좌표는 (−1( - 1, 3)3 ) 이고, D\mathrm{D}의 좌표는 (3( 3, −1)- 1 ) 이다. ◦B\mathrm{B}는 선분 AC\mathrm{AC}의 중점이다. ◦C\mathrm{C}는 선분 AD\mathrm{AD}를 2:12 : 1로 내분한다. ◦E\mathrm{E}는 선분 CD\mathrm{CD}를 3:23 : 2로 외분한다.

이때 AE‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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200

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해설

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점 이해하기 B(−1,3)\mathrm{B} ( - 1 , 3 ), D(3,−1)\mathrm{D} ( 3 , - 1 )을 지나는 직선의 방정식은 y=−x+2y = - x + 2이다. 점A,B,C,D,E\mathrm{A} , B , C , D , E가 한 직선 위에 있으므로 A(a,−a+2)\mathrm{A} ( \mathit{a} , - a + 2 ), C(c,−c+2){\mathrm{C}} ( \mathit{c} , - c + 2 ), E(e,−e+2){\mathrm{E}} ( \mathit{e} , - e + 2 )라 하자. B\mathrm{B}는 선분 AC\mathrm{AC}의 중점이고 C\mathrm{C}는 선분 AD\mathrm{AD}를 2:12 : 1로 내분하는 점이므로 C\mathrm{C}는 선분 BD\mathrm{BD}의 중점이다. ∴C(1,1)\therefore \mathrm{C} \mathit{(} \mathit{1} , 1 ) B\mathrm{B}는 선분 AC\mathrm{AC}의 중점이므로 a+12=−1\displaystyle \frac{a + 1}{2} = - 1 ∴a=−3\therefore a = - 3 따라서 A(−3,5)\mathrm{A} ( - 3 , 5 )이다. E\mathrm{E}는 선분 CD\mathrm{CD}를 3:23 : 2로 외분하는 점이므로 e=3×3−2×13−2=7\displaystyle e = \frac{3 \times 3 - 2 \times 1}{3 - 2} = 7 따라서 E(7,−5)\mathrm{E} ( 7 , - 5 )이다. ∴AE‾2=200\displaystyle \mathrm{\therefore} {\overline{AE}} ^{2} = 200

태그

#내분점#외분점

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