공통수학2평면좌표수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내분점과 외분점

문제

좌표평면 위의 세 점 A(5,1){\mathrm{A}} \mathit{(} 5 , 1 ), B(−1,4){\mathrm{B}} \mathit{(} - 1 , 4 ), C(a,b){\mathrm{C}} \mathit{(} a , b )에 대하여 선분 AB{\mathrm{AB}}를 2:12 : 1로 내분하는 점의 좌표와 선분 AC{\mathrm{AC}}를 2:12 : 1로 외분하는 점의 좌표가 서로 같을 때, a+ba + b의 값은? [3점] ①3\mathrm{3}②4\mathrm{4}③5\mathrm{5}④6\mathrm{6}⑤7\mathrm{7}

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③

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해설

[출제의도] 선분의 내분점과 외분점 이해하기 선분 AB{\mathrm{AB}}를 2:12 : 1로 내분하는 점을 P{\mathrm{P}}, 선분 AC{\mathrm{AC}}를 2:12 : 1로 외분하는 점을 Q{\mathrm{Q}}라 하자. 점 C{\mathrm{C}}는 선분 AQ{\mathrm{AQ}}의 중점이고 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}의 좌표가 서로 같으므로 AC‾=CP‾=PB‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = \overline{{\mathrm{CP}}} = \overline{{\mathrm{PB}}} 그러므로 점 C{\mathrm{C}}는 선분 AB{\mathrm{AB}}를 1:21 : 2로 내분하는 점이다.

a=1×(−1)+2×51+2=3\displaystyle a = \frac{1 \times ( - 1 ) + 2 \times 5}{1 + 2} = 3, b=1×4+2×11+2=2\displaystyle b = \frac{1 \times 4 + 2 \times 1}{1 + 2} = 2 따라서 a+b=5a + b = 5

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