기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

내분점·외분점 벡터

문제

좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}의 위치벡터를 각각 a⃗{\vec{a}}, b⃗{\vec{b}}라 하고, 선분 AB{\mathrm{AB}}를 2:12 : 1로 내분하는 점 P{\mathrm{P}}와 선분 AB{\mathrm{AB}}를 1:41 : 4로 외분하는 점 Q{\mathrm{Q}}의 위치벡터를 각각 p⃗{\vec{p}}, q⃗{\vec{q}}라 하자. p⃗+q⃗=ma⃗+nb⃗{\vec{p}} + {\vec{q}} = m {\vec{a}} + n {\vec{b}}를 만족시키는 두 실수 mm, nn에 대하여 m−nm - n의 값은? (단, 두 벡터 a⃗{\vec{a}}, b⃗{\vec{b}}는 서로 평행하지 않고, 영벡터가 아니다.) [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

정답 보기
④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

점 P{\mathrm{P}}는 선분 AB{\mathrm{AB}}를 2:12 : 1로 내분하는 점이므로 점 P{\mathrm{P}}의 위치벡터 p⃗{\vec{p}}는 p⃗=a⃗+2b⃗2+1=a⃗+2b⃗3\displaystyle {\vec{p}} = \frac{{\vec{a}} + 2 {\vec{b}}}{2 + 1} = \frac{{\vec{a}} + 2 {\vec{b}}}{3} 점 Q{\mathrm{Q}}는 선분 AB{\mathrm{AB}}를 1:41 : 4로 외분하는 점이므로 점 Q{\mathrm{Q}}의 위치벡터 q⃗{\vec{q}}는 q⃗=b⃗−4a⃗1−4=−4a⃗+b⃗−3=4a⃗−b⃗3\displaystyle {\vec{q}} = \frac{{\vec{b}} - 4 {\vec{a}}}{1 - 4} = \frac{- 4 {\vec{a}} + {\vec{b}}}{- 3} = \frac{4 {\vec{a}} - {\vec{b}}}{3} 따라서 p⃗+q⃗{\vec{p}} + {\vec{q}}는 p⃗+q⃗{\vec{p}} + {\vec{q}}=a⃗+2b⃗3+4a⃗−b⃗3\displaystyle = \frac{{\vec{a}} + 2 {\vec{b}}}{3} + \frac{4 {\vec{a}} - {\vec{b}}}{3}=5a⃗+b⃗3\displaystyle = \frac{5 {\vec{a}} + {\vec{b}}}{3}=53a⃗+13b⃗\displaystyle = \frac{5}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{3} {\vec{b}} 두 벡터 a⃗{\vec{a}}, b⃗{\vec{b}}는 서로 평행하지 않고 영벡터가 아니므로 m=53\displaystyle m = \frac{5}{3}, n=13\displaystyle n = \frac{1}{3} ∴\therefore m−nm - n=43\displaystyle = \frac{4}{3}

태그

#위치벡터#내분#외분

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 평면벡터 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음
← 전체 문제 목록으로