√n 에 가장 가까운 자연수 합

$a _{n} = k$($k$는 자연수)라는 어떤 값을 가진다고 하면 $\displaystyle k - \frac{1}{2} < \sqrt{n} < k + \frac{1}{2}$ $\displaystyle k ^{2} - k + \frac{1}{4} < n < k ^{2} + k + \frac{1}{4}$ $k ^{2} - k + 1 \leq n ( \text{항의} \text{개수} ) \leq k ^{2} + k$ 그런데 $n$은 자연수이므로 $a _{n} = k$을 만족하는 항의 개수 $n$은 $k ^{2} - k + 1$부터 $k ^{2} + k$까지 모두 $2 k$개다. 즉, $k = 1$이면 $a _{n} = 1$인 항은 2개 있다. $\rightarrow a _{1} = a _{2} = 1$ $k = 2$이면 $a _{n} = 2$인 항은 4개 있다. $\rightarrow a _{3} = a _{4} = a _{5} = a _{6} = 2$ 이어서 구해보면 $\rightarrow a _{7} = a _{8} = a _{9} = a _{10} =$$a _{11} = a _{12} = 3$ $\vdots$ $\rightarrow a _{73} = a _{74} = \cdots = a _{90} = 9$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{90} a _{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + \cdots + 9 \cdot 18$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{9} k \cdot 2 k$$\displaystyle = 2 \sum\limits _{k = 1} ^{9} k ^{2}$ $\displaystyle = 2 \times \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6}$$= 570$ [참고] 두 정수 $a$, $b$ ($a < b$)에 대하여 $a < n < b$을 만족시키는 정수 $n$의 개수는 $b - a - 1$ $a \leq n < b$을 만족시키는 정수 $n$의 개수는 $b - a$ $a < n \leq b$을 만족시키는 정수 $n$의 개수는 $b - a$ $a \leq n \leq b$을 만족시키는 정수 $n$의 개수는 $b - a + 1$