명제와 충분조건

[출제의도] 이차부등식을 포함한 문장이 참인 명제가 되도록 하는 문제를 해결한다. 실수 전체의 집합을 ${U}$라 하고, 두 조건 ${p}$, ${q}$의 진리집합을 각각 ${P}$, ${Q}$라 하자. ‘모든 실수 ${x}$에 대하여 ${p}$이다.’가 참인 명제가 되려면 ${P = U}$이어야 한다. 따라서 모든 실수 ${x}$에 대하여 ${x ^{2} + 2 ax + 1 \geq 0}$이어야 하므로 이차방정식 ${x ^{2} + 2 ax + 1 = 0}$의 판별식을 ${D _{1}}$이라 하면 $\displaystyle {\frac{D _{1}}{4} = a ^{2} - 1 \leq 0}$ ${( a + 1 ) ( a - 1 ) \leq 0}$, ${- 1 \leq a \leq 1}$ 그러므로 정수 ${a}$는 ${- 1}$, ${0}$, ${1}$이다. 이때 ‘${p}$는 ${\sim q}$이기 위한 충분조건이다.’가 참인 명제가 되려면 ${P \subset Q ^{C}}$이어야 하고 ${P = U}$이므로 ${Q ^{C} = U}$이다. 따라서 모든 실수 ${x}$에 대하여 ${x ^{2} + 2 b x + 9 > 0}$이어야 하므로 이차방정식 ${x ^{2} + 2 b x + 9 = 0}$의 판별식을 ${D _{2}}$라 하면 $\displaystyle {\frac{D _{2}}{4}}$${= b ^{2} - 9}$${< 0}$ ${\left( b + 3 \right) \left( b - 3 \right) < 0}$, ${- 3 < b < 3}$ 그러므로 정수 ${b}$는 ${- 2}$, ${- 1}$, ${0}$, ${1}$, ${2}$이다. 따라서 정수 ${a}$, ${b}$의 순서쌍 ${\left( a , b \right)}$의 개수는 ${3 \times 5 = 15}$이다.