멱등행렬 보기

ㄱ. $A ^{2} - A = O$에서 $A ( A - E ) = O$ ⋯⋯ ㉠ $A - B = E$에서 $A - E = B$ ⋯⋯ ㉡ ㉠, ㉡에서 $AB = O$ (참) ㄴ. $A$의 역행렬이 존재한다고 가정하면 $A ^{2} - A = O$에서 $A ^{-1} ( A ^{2} - A ) = A - E = O$이다. 이는 $A \ne E$라는 것에 모순된다. 따라서 $A$의 역행렬이 존재하지 않는다. (참) ㄷ. $A - B = E$에서 $A = E - B$ $AB = B - B ^{2}$, $BA = B - B ^{2}$이므로 $AB = BA = O$ (∵ ㄱ) ∴ $( A + B ) ^{2}$$= ( A - B ) ^{2} = E$ ∴ $( A + B ) ^{-1} = A + B$ (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. [다른 풀이] ㄷ. $A - B = E$에서 $A + B = 2 A - E$ $A ^{2} - A = O$에서 $\displaystyle A ^{2} - A + \frac{1}{4} E = \frac{1}{4} E$ $\displaystyle \left( A - \frac{1}{2} E \right) ^{2} = \frac{1}{4} E$ $\left( 2 A - E \right) ^{2} = E$ ∴ $( 2 A - E ) ^{-1} = 2 A - E$ 따라서 $A + B$의 역행렬이 존재한다. (참)