공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

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문제

집합 SS가 S={M∣M은이차정사각행렬이고M2=M}S = \left\{ M \left| M \text{은} \text{이차정사각행렬이고} M ^{2} = M \right\} \right. 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점]

<보기>
ㄱ. (22−1−1)∈S\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix} \in S ㄴ. A∈SA \in S이고 AA의 역행렬이 존재하면 A=EA = E이다. ㄷ. A+E∈SA + E \in S이면 A4∈SA ^{4} \in S이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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⑤

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해설

ㄱ. (참) (22−1−1)2=(22−1−1)∈S\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}} ^{2} = {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}} \in S ㄴ. (참) A2=AA ^{2} = A, A−1A2=A−1AA ^{-1} A ^{2} = A ^{-1} A ∴\thereforeA=EA = E ㄷ. (참) (A+E)2=A+E( A + E ) ^{2} = A + E, A2=−AA ^{2} = - A일 때 (A4)2=(A2)4=(−A)4=A4∈S\left( A ^{4} \right) ^{2} = \left( A ^{2} \right) ^{4} = ( - A ) ^{4} = A ^{4} \in S

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