무리수 조건 개수

[출제의도] 무리수의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다. ⅰ) $\displaystyle \sqrt{2 x}$가 유리수인 경우 $\displaystyle \sqrt{2 x}$가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 $2 x$가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로 $x = 2 n ^{2}$($n$은 자연수)의 꼴이어야 한다. $2 n ^{2}$이 $100$ 이하의 자연수가 되어야 하므로 $n ^{2}$은 $50$ 이하의 자연수가 되어야 한다. 따라서 가능한 자연수 $n$은 $1$, $2$, $\cdots$, $7$로 $7$개다. 그러므로 구하는 자연수 $x$는 $2 \times 1 ^{2}$, $2 \times 2 ^{2}$, $\cdots$, $2 \times 7 ^{2}$으로 $7$개다. ⅱ) $\displaystyle \sqrt{3 x}$가 유리수인 경우 $\displaystyle \sqrt{3 x}$가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 $3 x$가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로 $x = 3 n ^{2}$($n$은 자연수)의 꼴이어야 한다. $3 n ^{2}$이 $100$ 이하의 자연수가 되어야 하므로 $n ^{2}$은 $\displaystyle \frac{100}{3}$ 이하의 자연수가 되어야 한다. $\displaystyle \frac{100}{3} = 33 + \frac{1}{3}$이므로 가능한 자연수 $n$은 $1$, $2$, $\cdots$, $5$로 $5$개다. 그러므로 구하는 자연수 $x$는 $3 \times 1 ^{2}$, $3 \times 2 ^{2}$, $\cdots$, $3 \times 5 ^{2}$으로 $5$개다. ⅲ) $\displaystyle \sqrt{4 x}$가 유리수인 경우 $\displaystyle \sqrt{4 x} = 2 \sqrt{x}$이므로 $\displaystyle \sqrt{4 x}$가 유리수가 되기 위해서는 $\displaystyle \sqrt{x}$가 유리수가 되어야 한다. $\displaystyle \sqrt{x}$가 유리수가 되기 위해서는 근호 안의 수 $x$가 어떤 수의 제곱이 되어야 하므로 $x = n ^{2}$($n$은 자연수)의 꼴이어야 한다. $n ^{2}$이 $100$ 이하의 자연수가 되도록 하는 $n$은 $1$, $2$, $\cdots$, $10$으로 $10$개다. 그러므로 구하는 자연수 $x$는 $1 ^{2}$, $2 ^{2}$, $\cdots$, $10 ^{2}$으로 $10$개다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 자연수 $x$의 개수는 $7 + 5 + 10 = 22$이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{2 x}$, $\displaystyle \sqrt{3 x}$, $\displaystyle \sqrt{4 x}$가 모두 무리수가 되도록 하는 $100$ 이하의 자연수 $x$의 개수는 $100 - 22 = 78$이다.