공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리수 근의 삼차방정식

문제

aa , bb 가 유리수 일 때, xx 에 대한 삼차방정식 x3+ax2+bx+1=0x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1 = 0 의 한 근이 −1+2\displaystyle - 1 + \sqrt{2} 이다. a+ba + b 의 값은? [3점] ①00②−1- 1③−2- 2④−3- 3⑤−4- 4

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③

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해설

[출제의도] 삼차방정식의 근의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 −1+2\displaystyle - 1 + \sqrt{2}가 한 근이면 −1−2\displaystyle - 1 - \sqrt{2}도 근이 된다. 또, 이 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 x2+2x−1=0x ^{2} + 2 x - 1 = 0 이므로 다항식 x2+2x−1x ^{2} + 2 x - 1은 다항식 x3+ax2+bx+1x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1의 인수이다. 따라서 x3+ax2+bx+1=(x2+2x−1)(x−1)x ^{3} + ax ^{2} + bx + 1 = ( x ^{2} + 2 x - 1 ) ( x - 1 )=x3+x2−3x+1= x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 1 ∴a+b=1−3=−2\therefore a + b = 1 - 3 = - 2

태그

#삼차방정식#켤레근

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