공통수학1이차방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리수 근 이차방정식

문제

유리수 a,ba , b에 대하여 이차방정식 x2+ax+b=0x ^{2} + a x + b = 0의 한 근이 1+5\displaystyle 1 + \sqrt{5}일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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20

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해설

[출제의도] 근이 주어진 이차방정식의 미정계수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. x=1+5\displaystyle x = 1 + \sqrt{5}를 대입하면, (1+5)2+a(1+5)+b=0\displaystyle ( 1 + \sqrt{5} ) ^{2} + a ( 1 + \sqrt{5} ) + b = 0 (a+b+6)+(a+2)5=0\displaystyle ( a + b + 6 ) + ( a + 2 ) \sqrt{5} = 0 ∴ a+b=−6a + b = - 6, a=−2a = - 2 ∴ a=−2,b=−4a = - 2 , b = - 4 따라서 a2+b2a ^{2} + b ^{2}==(−2)2+(−4)2=20( - 2 ) ^{2} + ( - 4 ) ^{2} = 20이다.

태그

#켤레근#유리수 계수

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