무리수 변 직각삼각형

[출제의도] 실수의 대소 관계를 이용하여 내적 문제를 해결한다. 자연수 $n$에 대하여 $n + 2 > n + 1$ 이고 $n + 1$$\displaystyle > \sqrt{n ^{2} + 2 n}$$\displaystyle > \sqrt{n ^{2} + 1}$ ($\because$$\displaystyle n + 1 = \sqrt{n ^{2} + 2 n + 1}$) $\therefore$ $n + 2$$\displaystyle > \sqrt{n ^{2} + 2 n}$$\displaystyle > \sqrt{n ^{2} + 1}$ 따라서 길이가 $n + 2$인 변이 직각삼각형의 빗변이 된다. 피타고라스의 정리에 의하여 $\displaystyle \left( n + 2 \right) ^{2} = \left( \sqrt{n ^{2} + 2 n} \right) ^{2} + \left( \sqrt{n ^{2} + 1} \right) ^{2}$에서 $n ^{2} + 4 n + 4 = \left( n ^{2} + 2 n \right) + \left( n ^{2} + 1 \right)$ $n ^{2} - 2 n - 3 = 0$ $( n - 3 ) ( n + 1 ) = 0$ $n = 3$ ($\because n > 0$) 이므로 직각삼각형의 세 변의 길이는 $5$, $\displaystyle \sqrt{15}$, $\displaystyle \sqrt{10}$ 이고 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{10} = \frac{5 \sqrt{6}}{2}$ [참고] 실수의 대소 관계 $A > B > 0$일 때, $\displaystyle \sqrt{A}$와 $\displaystyle \sqrt{B}$의 대소 관계는 다음과 같다. $\displaystyle \left( \sqrt{A} \right) ^{2} - \left( \sqrt{B} \right) ^{2} = A - B > 0$ 이므로 $\displaystyle \left( \sqrt{A} \right) ^{2} > \left( \sqrt{B} \right) ^{2}$임을 알 수 있고 $\displaystyle \sqrt{A} > 0$, $\displaystyle \sqrt{B} > 0$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{A} > \sqrt{B}$이다. 따라서 $A > B > 0$ $\displaystyle \rightarrow \sqrt{A} > \sqrt{B}$