미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리식 수열 극한 미정계수

문제

양수 aa와 실수 bb에 대하여 lim⁡n→∞(an2+4n−bn)=15\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{an ^{2} + 4 n} - bn \right) = \frac{1}{5} 일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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110110

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해설

lim⁡n→∞(an2+4n−bn)=15\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{an ^{2} + 4 n} - bn \right) = \frac{1}{5} ↔\leftrightarrow lim⁡n→∞(an2+4n−bn×an2+4n+bnan2+4n+bn)=15\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \sqrt{an ^{2} + 4 n} - bn \times \frac{\sqrt{an ^{2} + 4 n} + bn}{\sqrt{an ^{2} + 4 n} + bn} \right) = \frac{1}{5} ↔\leftrightarrow lim⁡n→∞((a−b2)n2+4nan2+4n+bn)=15\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{( a - b ^{2} ) n ^{2} + 4 n}{\sqrt{an ^{2} + 4 n} + bn} \right) = \frac{1}{5} 위 식의 극한값이 존재하므로 a−b2=0a - b ^{2} = 0, 4a+b=15\displaystyle \frac{4}{\sqrt{a} + b} = \frac{1}{5} 따라서 a=100a = 100, b=10b = 10 ∴ a+b=110a + b = 110

태그

#수열의 극한#유리화#미정계수

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