미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리식 극한 미정계수

문제

두 상수 aa, bb에 대하여 lim⁡x→3x2−4x+ax+1−2=b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{x ^{2} - 4 x + a}{\sqrt{x + 1} - 2} = b} 일 때, a+ba + b의 값은? [3점] ①33②55③77④99⑤1111

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⑤

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해설

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 lim⁡x→3x2−4x+ax+1−2=b\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{x ^{2} - 4 x + a}{\sqrt{x + 1} - 2}} = b이고 lim⁡x→3(x+1−2)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\left( \sqrt{x + 1} - 2 \right) = 0}이므로 lim⁡x→3(x2−4x+a)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\left( x ^{2} - 4 x + a \right) = 0} ∴\thereforea=3a = 3 lim⁡x→3x2−4x+3x+1−2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{\sqrt{x + 1} - 2}}=lim⁡x→3(x−3)(x−1)(x+1+2)(x+1−2)(x+1+2)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{\left( x - 3 \right) \left( x - 1 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x + 1} - 2 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)}} =lim⁡x→3(x−3)(x−1)(x+1+2)x−3\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{\left( x - 3 \right) \left( x - 1 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)}{x - 3}} =lim⁡x→3(x−1)(x+1+2)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\left( x - 1 \right) \left( \sqrt{x + 1} + 2 \right)}=8= 8 ∴\thereforeb=8b = 8 따라서 a+b=11a + b = 11

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