무리함수와 역함수 삼각형

[출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제를 해결한다.

그림과 같이 $k$의 값이 증가하면 곡선 $\displaystyle y = \sqrt{x - k}$는 점 $\mathrm{B}$를 지난 이후에 삼각형과 만나지 않고 곡선 $y = f ( x )$가 점 $\mathrm{B}$를 지날 때 $\displaystyle 1 = \sqrt{7 - k}$이므로 $k$는 $6$이다. 즉, $k > 6$이면 곡선 $y = f ( x )$와 삼각형은 만나지 않는다. 또, $\displaystyle y = \sqrt{x - k}$의 역함수를 구하면 $y = x ^{2} + k$ ($x \geq 0$)이다. $k$의 값이 증가하면 곡선 $y = x ^{2} + k$가 점 $\mathrm{A}$를 지난 이후 삼각형과 만나지 않고 곡선 $y = x ^{2} + k$가 점 $\mathrm{A}$를 지날 때 $6 = 1 ^{2} + k$이므로 $k$는 $5$이다. 즉, $k > 5$이면 곡선 $y = x ^{2} + k$와 삼각형은 만나지 않는다. 따라서 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 $k$의 최댓값은 $5$이다.