공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무리함수 역함수 교점

문제

무리함수 y=4x−3+k\displaystyle y = \sqrt{4 x - 3} + k의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프가 두 점에서 만날 때, 교점 사이의 거리가 26\displaystyle 2 \sqrt{6}이 되도록 하는 상수 kk의 값은? [4점] ①18\displaystyle \frac{1}{8}②14\displaystyle \frac{1}{4}③38\displaystyle \frac{3}{8}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤58\displaystyle \frac{5}{8}

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④

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해설

[출제의도] 무리함수와 역함수의 관계 이해하기 f(x)f ( x )의 그래프와 f−1(x)f ^{-1} ( x )의 그래프의 두 교점은 f(x)f ( x )의 그래프와 y=xy = x의 그래프의 교점과 같다. 4x−3+k=x\displaystyle \sqrt{4 x - 3} + k = x에서 x2−2(k+2)x+k2+3=0x ^{2} - 2 ( k + 2 ) x + k ^{2} + 3 = 0의 근을 α\alpha, β\beta라 하면 이 두 근은 그래프의 교점의 xx좌표이다. 따라서 두 교점은 (α,α)( \alpha , \alpha ), (β,β)( \beta , \beta )이다. 또한 α+β=2(k+2)\alpha + \beta = 2 ( k + 2 ), αβ=k2+3\alpha \beta = k ^{2} + 3이다. 두 점 사이의 거리는 2(α−β)2=2{(α+β)2−4αβ}\displaystyle \sqrt{2 ( \alpha - \beta ) ^{2}} = \sqrt{2 \left\{ ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta \right\}}=8(4k+1)=26\displaystyle = \sqrt{8 ( 4 k + 1 )} = 2 \sqrt{6} ∴k=12\displaystyle \therefore k = \frac{1}{2}

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#무리함수#역함수

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