미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리함수 넓이비 극한

문제

무리함수 f(x)=x+1\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x + 1}과 자연수 nn에 대하여 그림과 같이 y=f(x)y = f ( x )의 그래프 위의 한 점 Pn(n,f(n))P _{n} \left( n , f ( n ) ) \right.에서 xx축에 내린 수선의 발을 QnQ _{n}, yy축에 내린 수선의 발을 RnR _{n}이라 하자. 점A(−1,0)\mathrm{A} ( - 1 , 0 )에 대하여 사각형 AQnPnRnAQ _{n} P _{n} R _{n}의 넓이를 SnS _{n}, 삼각형AQnPn\mathrm{A} Q _{n} \mathrm{P} _{n}의 넓이를 TnT _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn+TnSn−Tn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n} + T _{n}}{S _{n} - T _{n}}의 값은? [3점]

①11②22③33④44⑤55

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③

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해설

△AQnPn\mathrm{\triangle} AQ _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}}=12AQ‾n×PnQn‾\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{AQ} _{\mathit{n}} \times \overline{P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}=12(n+1)n+1\displaystyle = \frac{1}{2} ( n + 1 ) \sqrt{n + 1} △APnRn\mathrm{\triangle} AP _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}=12PnRn‾×PnQn‾\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{P _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}} \times \overline{P _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}}=12nn+1\displaystyle = \frac{1}{2} n \sqrt{n + 1} 이므로 SnS _{n}=△AQnPn+△APnRn\mathrm{=} \triangle AQ _{\mathit{n}} P _{\mathit{n}} + \triangle AP _{\mathit{n}} R _{\mathit{n}}=12(2n+1)n+1\displaystyle = \frac{1}{2} ( 2 n + 1 ) \sqrt{n + 1} TnT _{n}=12(n+1)n+1\displaystyle = \frac{1}{2} ( n + 1 ) \sqrt{n + 1} ∴ lim⁡n→∞Sn+TnSn−Tn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{S _{n} + T _{n}}{S _{n} - T _{n}}=lim⁡n→∞12(3n+2)n+112nn+1\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2} ( 3 n + 2 ) \sqrt{n + 1}}{\frac{1}{2} n \sqrt{n + 1}}=lim⁡n→∞(3+2n)\displaystyle = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \left( 3 + \frac{2}{n} \right)=3= 3

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