미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무리함수 회전체

문제

※ 점 $A ( 1 , 0 )$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$ 이 곡선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ 와 만나는 점을 $B$ , 점 $B$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $C$ , 직선 $l$ 이 $y$ 축과 만나는 점을 $D$ 라 하자. 다음의 두 물음에 답하시오.

$\displaystyle \overline{AB} : \overline{AD} = 3 : 1$ 일 때, 점 $B$ 의 $x$ 좌표를 $a$ 라 하자. $x$ 축, 직선 $x = a$ , 곡선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ 로 둘러싸인 부분을 $x$ 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? [3점] ① $32 \pi$ ② $33 \pi$ ③ $34 \pi$ ④ $35 \pi$ ⑤ $36 \pi$

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①

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해설

$\displaystyle \overline{AB} : \overline{A D} = 3 : 1$ 이므로 점 $A$ 는 $\displaystyle \overline{OC}$ 를 $1 : 3$ 으로 내분한 점이 된다. $\therefore C ( 4 , 0 )$ 직선 $x = 4$ , 곡선 $\displaystyle y = 2 \sqrt{x}$ 로 둘러싸인 회전체의 부피는 $\displaystyle \pi \int _{0} ^{4} {y ^{2} dy = \pi \int _{0} ^{4} {4 x dx = \pi \left[ 2 x ^{2} ] _{0} ^{4} = 32 \pi \right.}}$

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