무리방정식 실근 개수

[출제의도] 무리방정식을 이해하고 함수의 그래프를 이용하여 해를 구한다. $\displaystyle f \left( x \right) - 1 = \sqrt{g \left( x \right) \left\{ f \left( x \right) - 2 \right\} + 1}$ … ㉠ ㉠의 양변을 각각 제곱하면 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} - 2 f \left( x \right) + 1 = g \left( x \right) \left\{ f \left( x \right) - 2 \right\} + 1$ $f ( x ) \left\{ f ( x ) - 2 \right\} - g ( x ) \left\{ f ( x ) - 2 \right\} = 0$ $\left\{ f \left( x \right) - 2 \right\} \left\{ f \left( x \right) - g \left( x \right) \right\} = 0$ ∴ $f \left( x \right) = 2$ 또는 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$ ⅰ) $f \left( x \right) = 2$를 ㉠에 대입하면 (좌변)=(우변)=$1$ ⅱ) $f \left( x \right) = g \left( x \right)$를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle f \left( x \right) - 1 = \sqrt{\left\{ f \left( x \right) - 1 \right\} ^{2}}$이므로 $f \left( x \right) \geq 1$이어야 한다. 따라서 주어진 무리방정식의 실근은 ⅰ)에서 $2$개, ⅱ)에서 $1$개이므로 구하는 실근의 개수는 $3$이다.