무리방정식 두 실근

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{f ( x ) + 3}} - \frac{1}{f ( x )} = \frac{3}{f ( x ) \sqrt{f ( x ) + 3}}$에서 $\displaystyle f ( x ) - \sqrt{f ( x ) + 3} = 3$ (단, $f ( x ) \ne 0$, $f ( x ) \geq - 3$) $\displaystyle t = \sqrt{f ( x ) + 3}$($\geq 0$)이라 하면 $t ^{2} - 3 - t = 3$, 즉 $t ^{2} - t - 6 = 0$에서 $t = 3$ (∵ $t \geq 0$) $\displaystyle \sqrt{f ( x ) + 3} = 3$이므로 $f ( x ) + 3 = 3 ^{2}$에서 $f ( x ) = 6$ 방정식 $f ( x ) = 6$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = 6$이 서로 다른 두 점에서 만나면 된다. $f ( x ) = ( x + k ) ^{2} + k ^{2} + k$이므로 이차함수 $f ( x )$의 최솟값은 $k ^{2} + k$이다. 따라서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = 6$이 서로 다른 두 점에서 만나려면 $k ^{2} + k < 6$이어야 한다. ∴ $- 3 < k < 2$ 위 부등식을 만족시키는 정수 $k$는 $- 2$, $- 1$, $0$, $1$이므로 구하는 모든 정수 $k$의 값의 합은 $- 2$이다.