확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

문자열 개수 점화 관계

문제

자연수 $n$ 에 대하여 세 문자 $\mathrm{A} , B , C$ 를 중복을 허용하여 만든 $n$ 자리 문자열 중에서 다음 두 조건을 만족시키는 문자열의 개수를 $a _{n}$ 이라 하자.

(가) 같은 문자가 연속하여 나올 수 없다. (나) $\mathrm{A}$ 의 바로 뒤에 $\mathrm{B}$ 는 나올 수 없다.

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 점화 관계 $a _{n+2} = a _{n+1} + a _{n}$ 을 만족시킨다. $a _{6}$ 의 값은? [4점] ① $22$ ② $26$ ③ $30$ ④ $34$ ⑤ $38$

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④

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해설

$n = 1$ 일 때 $a _{1} = 3$ $n = 2$ 일 때 $\mathrm{AC}$ , $\mathrm{BA}$ , $\mathrm{BC}$ , $\mathrm{CA}$ , $\mathrm{CB}$ 이므로 $a _{2} = 5$ 그런데 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 점화식 $a _{n+2} = a _{n+1} + a _{n}$ 을 만족하므로 $a _{3} = a _{2} + a _{1} = 5 + 3 = 8$ $a _{4} = a _{3} + a _{2} = 8 + 5 = 13$ $a _{5} = a _{4} + a _{3} = 13 + 8 = 21$ $a _{6} = a _{5} + a _{4} = 21 + 13 = 34$

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