미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

물통 부피 최대

문제

그림과 같은 사각기둥의 물통에서 등변 사다리꼴 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여, AB‾=BC‾=CD‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{BC} = \overline{CD} = 1, AE‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 8이고, 꼭지점 B,C\mathrm{B} , C에서 선분 AD\mathrm{AD}에 내린 수선의 발을 각각 M,N\mathrm{M} , N이라 할 때, ∠ABM=∠DCN=θ{\mathrm{\angle} ABM = \angle DCN} = \theta이다. 물통의 부피의 최대값이 VV일 때, V2V ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

θ\theta θ\theta

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108

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해설

V(θ)=12×{1+(1+2sin⁡θ)}×cos⁡θ×8\displaystyle V ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \left\{ 1 + ( 1 + 2 \sin \theta ) \right\} \times \cos \theta \times 8 V(θ)=8(sin⁡θcos⁡θ+cos⁡θ)V ( \theta ) = 8 ( \sin \theta \cos \theta + \cos \theta ) V′(θ)=8(1−2sin⁡2θ−sin⁡θ)=0V' ( \theta ) = 8 ( 1 - 2 \sin ^{2} \theta - \sin \theta ) = 0 에서 sin⁡θ=12\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2} 따라서 θ=π6\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}일 때 부피는 최대가 된다. ∴ V=63\displaystyle V = 6 \sqrt{3}, V2=108V ^{2} = 108

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#최대최소#삼각함수 미분

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