물탱크 수열 극한

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $a _{n + 1} = a _{n} \times 0.88 + x$이므로 $a _{n} = a _{n - 1} \times 0.88 + x$ $= a _{n - 2} \times 0.88 ^{2} + ( 1 + 0.88 ) x$ $\cdots$ $= 1200 \times 0.88 ^{n} + ( 1 + 0.88 + 0.88 ^{2} + \cdots + 0.88 ^{n - 1} ) x$ $\displaystyle = 1200 \times 0.88 ^{n} + \frac{1 - 0.88 ^{n}}{1 - 0.88} x$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( 1200 \times 0.88 ^{n} + \frac{1 - 0.88 ^{n}}{0.12} x \right)$$\displaystyle = \frac{x}{0.12}$ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} \leq 2000$에서 $\displaystyle \frac{x}{0.12} \leq 2000$ ∴ $x \leq 240$ 따라서 구하는 $x$의 최대값은 $240$이다.