무한급수 수렴 판정

[출제의도] 무한급수의 수렴, 발산 판정하기 ㄱ. $\displaystyle a _{n} = \frac{n}{2 n - 1}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \frac{1}{2} \ne 0$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} {}^{} a _{n}$은 발산한다. ㄴ. $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{1 + 2 + \cdots + n} = \frac{1}{\frac{n ( n + 1 )}{2}} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$이고 $\displaystyle S _{n} = 2 \sum\limits _{k=1} ^{n} {\left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)}$ $\displaystyle = 2 - \frac{2}{n + 1}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = 2$로 수렴한다. ㄷ. $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{\left( \sqrt{n + 2} - \sqrt{n} \right)} = \frac{\sqrt{n + 2} - \sqrt{n}}{2}$이고 $\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \sqrt{k + 2} - \sqrt{k} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} ( - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2} )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$은 발산하다.