미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무한등비수열 수렴 조건

문제

무한등비수열 {(4sin⁡x−3)n}\left\{ ( 4 \sin x - 3 ) ^{n} \right\}이 수렴하기 위한 필요충분조건은 α<x<β\alpha < x < \beta이다. 이때, β−α\beta - \alpha의 값은? (단, 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi) [4점] ①π3\displaystyle \frac{\pi}{3}②π2\displaystyle \frac{\pi}{2}③23π\displaystyle \frac{2}{3} \pi④56π\displaystyle \frac{5}{6} \pi⑤π\pi

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③

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기 주어진 무한등비수열이 수렴하려면 −1<4sin⁡x−3≤1- 1 < 4 \sin x - 3 \leq 1 따라서 12<sin⁡x≤1\displaystyle \frac{1}{2} < \sin x \leq 1(단, 0≤x<2π0 \leq x < 2 \pi)

π6<x<56π\displaystyle \frac{\pi}{6} < x < \frac{5}{6} \pi이므로 α=π6\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6}이고 β=56π\displaystyle \beta = \frac{5}{6} \pi이다. ∴β−α=23π\displaystyle \therefore \beta - \alpha = \frac{2}{3} \pi

태그

#무한등비수열#삼각함수

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