무한등비수열 수렴 조건

[출제의도] 무한등비수열이 수렴할 조건을 알고 있는가를 묻는 문제이다. 주어진 무한수열이 수렴할 조건은 $\displaystyle - 1 < \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{8} x \leq 1$, $\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2} < \sin \frac{\pi}{8} x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ 이때 $0 < x < 16$일 때, $\displaystyle 0 < \frac{\pi}{8} x < 2 \pi$이므로 위의 부등식의 해는 $\displaystyle 0 < \frac{\pi}{8} x \leq \frac{\pi}{4}$, $\displaystyle \frac{3}{4} \pi \leq \frac{\pi}{8} x < \frac{5}{4} \pi$, $\displaystyle \frac{7}{4} \pi < \frac{\pi}{8} x < 2 \pi$ 따라서 구하는 자연수 $x$는 $1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 , 15$의 $7$개이다.