미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무한등비급수의 합

문제

공비가 같은 두 무한등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 a1−b1=1a _{1} - b _{1} = 1이고 ∑n=1∞an=8\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 8, ∑n=1∞bn=6\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} b _{n} = 6일 때, ∑n=1∞anbn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} b _{n}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

두 무한등비수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}의 공비를 rr라 하자. ∑n=1∞an=a11−r=8\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{1}}{1 - r} = 8 ⋯㉠\cdots \text{㉠} ∑n=1∞bn=b11−r=6\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n} = \frac{b _{1}}{1 - r} = 6 ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠-㉡에서 a1−b11−r=2\displaystyle \frac{a _{1} - b _{1}}{1 - r} = 2 a1−b1=1a _{1} - b _{1} = 1이므로 11−r=2\displaystyle \frac{1}{1 - r} = 2, 1−r=12\displaystyle 1 - r = \frac{1}{2} ∴ r=12\displaystyle r = \frac{1}{2} ㉠에서 a1=8(1−r)=8⋅12=4\displaystyle a _{1} = 8 ( 1 - r ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 ㉡에서 b1=6(1−r)=6⋅12=3\displaystyle b _{1} = 6 ( 1 - r ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 따라서 수열 {anbn}\left\{ a _{n} b _{n} \right\}은 첫째항이 a1b1=4⋅3=12a _{1} b _{1} = 4 \cdot 3 = 12이고, 공비가 r2=14\displaystyle r ^{2} = \frac{1}{4}인 등비수열이다. ∴ ∑n=1∞anbn=121−14=1234=16\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} b _{n} = \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 16

태그

#무한등비급수

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