무한등비급수로 상수 c 구하기

$\displaystyle \sum\limits _{n=2} ^{\infty} ( 1 + c ) ^{-n}$$= 2$이므로 $\displaystyle \left| \frac{1}{1 + c} \right| < 1$ 즉, $c > 0$ 또는 $c < - 2$ ⋯⋯ ㉠ 이고 $\displaystyle \frac{\left( \frac{1}{1 + c} \right) ^{2}}{1 - \frac{1}{1 + c}} = 2$이다. $2 ( 1 + c ) ^{2} - 2 ( 1 + c ) - 1 = 0$에서 $2 c ^{2} + 2 c - 1 = 0$ $\displaystyle c = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$ ∴ $\displaystyle c = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ (∵ ㉠) ∴ $\displaystyle 2 c + 1 = \sqrt{3}$