미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

무한등비급수 수렴 판정

문제

무한등비급수 ∑n=1∞rn\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} r ^{n}이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은? ①∑n=1∞(rn+r2n)\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} ( r ^{n} + r ^{2n} )②∑n=1∞(rn−2r2n)\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} ( r ^{n} - 2 r ^{2n} )③∑n=1∞rn+(−r)n2\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \frac{r ^{n} + ( - r ) ^{n}}{2}④∑n=1∞(r−12)n\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( \frac{r - 1}{2} \right) ^{n}⑤∑n=1∞(r2−1)n\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} \left( \frac{r}{2} - 1 \right) ^{n}

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⑤

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해설

∑n=1∞rn\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} r ^{n}이 수렴하므로, ∣r∣<1⋯⋯(가)| r | < 1 \cdots \cdots \text{(가)} 따라서, ∣r2∣<1,∣−r∣<1| r ^{2} | < 1 , | - r | < 1이므로 ∑n=1∞rn,\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} r ^{n} , ∑n=1∞r2n,\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} r ^{2n} , ∑n=1∞(−r)n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( - r ) ^{n}은 모두 수렴한다. 즉,①, ②, ③은 수렴한다. ④ : ㈎에서 −1<r<1- 1 < r < 1 →−2<r−1<0\rightarrow - 2 < r - 1 < 0→−1<r−12<0\displaystyle \rightarrow - 1 < \frac{r - 1}{2} < 0 이므로 ∑n=1∞(r−12)n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{r - 1}{2} \right) ^{n}은 수렴한다. ⑤ : −12<r2<12\displaystyle - \frac{1}{2} < \frac{r}{2} < \frac{1}{2} →−32<r2−1←12\displaystyle \rightarrow - \frac{3}{2} < \frac{r}{2} - 1 \leftarrow \frac{1}{2} ∑n=1∞(r2−1)n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left( \frac{r}{2} - 1 \right) ^{n}은 수렴하지 않는다.

태그

#무한등비급수#수렴 조건

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