미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

무한등비급수 수렴 보기

문제

무한등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

[ 보 기 ]
ㄱ. 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 ∑n=1∞a2n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n}도 수렴한다. ㄴ. 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 발산하면 ∑n=1∞a2n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n}도 발산한다. ㄷ. 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 ∑n=1∞(an+12)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + \frac{1}{2} \right)도 수렴한다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄴ, ㄷ

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③

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해설

무한등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 공비를 rr라고 하자. ㄱ. <참> 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 −1<r<1- 1 < r < 1이다. 무한등비수열 {a2n}\left\{ a _{2 n} \right\}의 공비는 r2r ^{2}이고 0≤r2<10 \leq r ^{2} < 1이므로 ∑n=1∞a2n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n}도 수렴한다. ㄴ. <참> 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 발산하면 ∑n=1∞a2n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n}도 발산한다. ㄷ. <거짓> 무한등비급수 ∑n=1∞an\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}이 수렴하면 ∑n=1∞(an+12)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( a _{n} + \frac{1}{2} \right)도 수렴한다.

태그

#무한등비급수#수렴 조건

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