무한등비급수 보기

무한등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r _{1}$, 무한등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 첫째항을 $b$, 공비를 $r _{2}$라 하면 $a _{n} = ar _{1} ^{n-1}$, $b _{n} = b r _{2} ^{n-1}$ ㄱ. $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}$이 수렴하므로 $- 1 < r _{1} < 1$, $- 1 < r _{2} < 1$ $a _{n} b _{n} = ar _{1} ^{n-1} b r _{2} ^{n-1}$$= ab ( r _{1} r _{2} ) ^{n-1}$ 에서 $- 1 < r _{1} r _{2} < 1$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} b _{n} = \frac{ab}{1 - {r _{1} r _{2}}}$ (수렴) (참) ㄴ. (반례) $a _{n} = ( - 1 ) ^{n}$, $b _{n} = ( - 1 ) ^{n-1}$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n} \ne 0$, $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} b _{n} \ne 0$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}$은 발산하지만 $a _{n} + b _{n} = ( - 1 ) ^{n} + ( - 1 ) ^{n-1} = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( a _{n} + b _{n} ) = 0$ (거짓) ㄷ. $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} {a _{n}} ^{3}$, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty {b _{n}}} {}^{3}$이 수렴하므로 $- 1 < r _{1} ^{3} < 1$, $- 1 < r _{2} ^{3} < 1$ ∴ $- 1 < r _{1} < 1$, $- 1 < r _{2} < 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n}$, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}$이 수렴하고, $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} ) = \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{n} + \sum\limits _{n=1} ^{\infty} b _{n}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} ( a _{n} + b _{n} )$은 수렴한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.