무한등비급수

[출제의도] 무한등비급수를 이해하고, 무한급수의 합을 구한다. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}}$ $\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left\{ \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} + \left( - \frac{1}{3} \right) ^{n} \right\}$$\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} + \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( - \frac{1}{3} \right) ^{n}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} + \frac{- \frac{1}{3}}{1 - \left( - \frac{1}{3} \right)}$$\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ [다른 풀이] 주어진 무한급수의 합을 $S$라 하고, 이를 덧셈으로 연결하여 나타내면 $\displaystyle S = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}}$ $\displaystyle = 0 + \frac{2}{3 ^{2}} + 0 + \frac{2}{3 ^{4}} + 0 + \frac{2}{3 ^{6}} + 0 + \cdots$ $\displaystyle = \frac{2}{3 ^{2}} + \frac{2}{3 ^{4}} + \frac{2}{3 ^{6}} + \frac{2}{3 ^{8}} + \cdots$ 이므로 이 무한급수는 첫째항이 $\displaystyle \frac{2}{9}$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{9}$인 무한등비급수의 합과 같다. ∴ $\displaystyle S = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}}$$\displaystyle = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1}{4}$