무게중심의 자취

${\mathrm{O}} ( 0 , 0 ) , {\mathrm{A}} ( 1 , 0 ) , {\mathrm{B}} ( x , y )$라 하면, $\triangle {\mathrm{OAB}}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{G}} \left( \frac{x + 1}{3} , \frac{y}{3} \right)$ $\displaystyle \frac{x + 1}{3} = X , \frac{y}{3} = Y$로 두면, $x = 3 X - 1 , y = 3 Y$ ${\mathrm{B}} ( x , y )$는 제 $1$사분면에 있는 사분원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$위에서 움직이는 점이므로 $( 3 X - 1 ) ^{2} + ( 3 Y ) ^{2} = 1$ $\displaystyle \therefore \left( X - \frac{1}{3} \right) ^{2} + Y ^{2} = \frac{1}{9}$ $\displaystyle \left( \text{단} , X > \frac{1}{3} , Y > 0 \right)$ 따라서 $\triangle {\mathrm{OAB}}$의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 원주의 $\displaystyle \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{6}$

[다른풀이] $\mathrm{O} \mathit{(} 0 , 0 ) , \mathrm{A} \mathit{(} 1 , 0 ) , \mathrm{B} \mathit{(} \cos \theta , \sin \theta )$라 하면, $\triangle {\mathrm{OAB}}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{G} \mathit{\left( \frac{\cos \theta + 1}{3} , \frac{\sin \theta}{3} \right)}$ $\cos \theta = 3 x - 1 , \sin \theta = 3 y$ ${\cos ^{2}} \theta + {\sin ^{2}} \theta = 1$이므로 $( 3 x - 1 ) ^{2} + ( 3 y ) ^{2} = 1$ $\displaystyle \left( x - \frac{1}{3} \right) ^{2} + y ^{2} = \frac{1}{9}$ $\displaystyle \left( \text{단} , x > \frac{1}{3} , y > 0 \right)$ 따라서 $\triangle {\mathrm{OAB}}$의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 원주의 $\displaystyle \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{6}$